哥德尔不完备定理是 数学和逻辑学领域的重要理论，由奥地利裔美国数学家库尔特·哥德尔于1931年提出。该定理表明，任何一种包含自然数加法和乘法的公理化形式系统都存在无法被该系统内的公式所证明的命题，即这样的系统是不完备的。

哥德尔不完备定理包含两个主要部分：

第一定理：

对于任何包含自然数的自洽公理系统，存在一个公理系统中的陈述，使得其在此公理系统中不可证。

第二定理（通常作为第一定理的推论）：如果系统S含有初等数论，且S无矛盾，那么S的无矛盾性不可能在S内证明。

这一定理对于数学基础研究产生了划时代的影响，也是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它揭示了数学系统内在的局限性，表明无论数学理论如何发展，总会存在无法在该系统内部证明或反驳的命题。

哥德尔不完备定理的一个重要推论是，任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图，该计划试图通过完备的公理化系统来为数学提供坚实的基础。

总的来说，哥德尔不完备定理是数学和逻辑学领域的一项革命性成果，它挑战了人类对数学和逻辑的绝对真理的追求，提出了系统内在的局限性问题。