对数函数是数学中重要的基本函数，其运算公式主要包括以下内容：

一、基本运算法则

乘积法则

$$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$$

例如：$\log_{10}（2 \times 5） = \log_{10} 2 + \log_{10} 5$

商法则

$$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$$

例如：$\log_{10}\left（\frac{100}{10}\right） = \log_{10} 100 - \log_{10} 10$

幂法则

$$\log_a(M^n) = n \log_a M \quad (n \in \mathbb{R})$$

例如：$\log_{2}（8） = \log_{2}（2^3） = 3 \log_{2} 2 = 3$

指数法则

$$\log_{a^k} M = \frac{1}{k} \log_a M \quad (a > 0, a \neq 1, k \neq 0)$$

例如：$\log_{4}（16） = \log_{2^2}（2^4） = \frac{4}{2} \log_{2} 2 = 2$

二、扩展公式与性质

换底公式

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a, b, c > 0, a \neq 1, c \neq 1)$$

例如：$\log_{2} 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$

特殊情况：$\log_{10} x = \ln x / \ln 10$（自然对数）

特殊值

- $\log_{10} 10 = 1$

- $\log_{10} 1 = 0$

- $\ln e = 1$

- $\log_{2} 8 = 3$

对数恒等式

- $\log_a b \cdot \log_b a = 1$

- $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

三、应用说明

计算器使用：

大多数计算器默认底数为10（$\log_{10}$），自然对数键为$\ln$。换底公式可通过计算器直接应用。- 实际场景：对数函数在数据分析、音频处理、工程计算等领域有广泛应用，例如计算复利、地震震级等。

以上公式需注意定义域：$a > 0$且$a \neq 1$，真数$M, N > 0$。