对数函数是数学中重要的基本函数，其公式体系涵盖运算规则、恒等式及转换方法。以下是常用对数函数的核心公式及性质：

一、基本运算公式

乘积法则

$$\log_a(MN) = \log_a(M) + \log_a(N)$$

说明乘积的对数等于各因数对数之和。

商法则

$$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a(M) - \log_a(N)$$

说明商的对数等于被除数对数减去除数对数。

幂法则

$$\log_a(M^n) = n\log_a(M) \quad (n \in \mathbb{R})$$

说明幂的对数等于指数与对数乘积。

指数法则

$$\log_a(a^b) = b \quad \text{和} \quad a^{\log_a(N)} = N$$

前者是反函数性质，后者说明对数与指数的互逆关系。

二、特殊性质与转换公式

换底公式

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (c > 0, c \neq 1)$$

允许在不同底数间转换对数值，常用自然对数或常用对数作中间转换。

推导公式

- $\log_a b \cdot \log_b a = 1$

- $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$

- $\log_{1/a} b = -\log_a b$

- $\log_a 1 = 0 \quad \text{和} \quad \log_a a = 1$ 。

常用对数与自然对数

- 以10为底：$\log_{10} b = \lg b$

- 以$e$为底：$\log_e b = \ln b$ 。

三、积分公式（补充）

对数函数的积分通常通过分部积分法计算，例如：

$$\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C$$

（注：该公式需结合分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 推导）。

以上公式覆盖了对数函数的核心运算与性质，实际应用中需注意定义域限制（如真数大于0）及底数选择。