19世纪美国提出的主要悖论包括：

亚拉巴马悖论

背景：1880年美国人口普查后，亚拉巴马州发现按照汉密尔顿法分配众议院席位时吃了亏。

悖论描述：假定各州人口比例不变，众议院议员席位增加，但亚拉巴马州却减少了议员名额。

人口悖论

背景：当众议院议员席位总数不变时，若各州人口有所增长，有时会出现某州失去席位而另一州增加席位的情况。

悖论描述：即使第i州的人口增长率比第1州更大，第i州也可能失去一个席位而第j州增加一个席位。

新州悖论

背景：当一个新的州加入美国时，总人口增加，众议院席位也相应增加。

悖论描述：原来某个州失去了一个席位，而另一个州增加了一个席位，虽然所有州的人口都没有变化。

这些悖论都揭示了汉密尔顿法在分配众议院席位时的不合理之处，最终导致该法在1910年被废止。