数列的递推公式是描述数列中任意项与其前项或前几项之间关系的表达式。根据其形式和性质，递推公式可分为以下几种类型：

一、线性递推公式

等差数列

通项公式：$a_n = a_1 + （n-1）d$

递推公式：$a_{n+1} = a_n + d$

特点：相邻两项差为常数。

等比数列

通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$

递推公式：$a_{n+1} = q a_n$

特点：相邻两项比为常数。

斐波那契数列

递推公式：$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

初始条件：$F_0=0, F_1=1$

特点：从第三项起，每一项是前两项之和。

二、非线性递推公式

斐波那契数列的变形

例如：$a_n = a_{n-1}^2 + a_{n-2}$

特点：项与项之间为非线性关系。

其他典型例子

- 卡特兰数列：$C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}$

- 调和数列：$a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}}$

- 阶乘数列：$a_n = n!$（可视为$a_n = a_{n-1} \cdot n$）

三、特殊递推方法

累加法（逐差相加法）

适用于形如$a_{n+1} - a_n = f（n）$的递推公式，通过累加求和求解。

累乘法（逐商相乘法）

适用于形如$\frac{a_{n+1}}{a_n} = f（n）$的递推公式，通过累乘求解。

换元法

将复杂递推公式转化为等比数列形式，例如：

$$a_{n+1} = pa_n + q \Rightarrow a_{n+1} + \frac{q}{p-1} = p\left(a_n + \frac{q}{p-1}\right)$$

适用于形如$a_{n+1} = pa_n + q$的递推公式。

四、周期数列与递推关系

周期数列的递推公式满足$a_{n+k} = a_n$（$k$为周期），例如：

数列：1, 2, 2, 2, 2, ...

递推公式：$a_{n+3} = a_n$

通项公式：$a_n = \begin{cases} 1, & n \equiv 1 \pmod{3} \\ 2, & \text{其他} \end{cases}$

总结

数列递推公式根据关系类型可分为线性（如等差、等比）和非线性（如斐波那契、卡特兰数列）两大类，求解方法包括累加/累乘、换元法等。周期数列则通过周期性条件简化求解。