一元二次方程的求根公式是数学中用于求解形如 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）方程的根的公式。该公式通过配方法推导得出，具体过程如下：

一、公式内容

求根公式为：

$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$$

其中，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定根的情况：

$\Delta > 0$：两个不等实根

$\Delta = 0$：两个相等实根

$\Delta < 0$：两个共轭虚根

二、公式推导步骤

方程标准化

将方程化为标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。

二次项系数化为1

两边同时除以 $a$，得到 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。

配方

在方程两边加上 $\left（\frac{b}{2a}\right）^2$，完成平方：

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$$

即：

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$。

开平方

对等式两边开平方，得到：

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$。

解出 $x$

移项后得到：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$。

三、公式应用要点

判别式的作用：

通过 $\Delta = b^2 - 4ac$ 判断根的性质，避免开负数平方根。

公式适用范围：适用于所有一元二次方程，包括实数根和虚数根。

历史背景：该公式最早由9世纪阿拉伯数学家提出，后经欧洲数学家完善为现代形式。

四、示例

解方程 $2x^2 - 4x - 6 = 0$：

1. 标准化：$a=2, b=-4, c=-6$；

2. 代入公式：

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}$$；

3. 解得：$x = 3$ 或 $x = -1$。

通过以上步骤，可系统地求解一元二次方程的根。