虚数单位 $i$ 的 $n$ 次方具有周期性规律，具体如下：

基本规律

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

以上结果每4次方循环一次。

推广公式

对于任意整数 $n$，$i^n$ 可以通过以下方式计算：

若 $n \mod 4 = 0$，则 $i^n = 1$

若 $n \mod 4 = 1$，则 $i^n = i$

若 $n \mod 4 = 2$，则 $i^n = -1$

若 $n \mod 4 = 3$，则 $i^n = -i$

例如：

$i^{100}$：因为 $100 \mod 4 = 0$，所以 $i^{100} = 1$

$i^{7}$：因为 $7 \mod 4 = 3$，所以 $i^7 = -i$

特殊情况说明

任何非零数的0次方均为1，即 $i^0 = 1$

负数次方可通过公式 $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$ 计算，例如 $i^{-1} = -i$

示例计算

$i^5 = i^{4+1} = （i^4） \cdot i = 1 \cdot i = i$

$i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = i$

通过以上规律，可快速计算任意整数次幂的虚数单位。