老舍的《济南的冬天》写作背景和写作目的如下：

写作背景

时间：1931年春天。

地点：济南齐鲁大学。

经历：老舍先生1930年前后从英国回到中国，先后在济南齐鲁大学和青岛山东大学任教7年之久，对山东产生了深厚的感情，山东被称为他的“第二故乡”。

写作目的

表达情感：老舍先生被济南独特的冬天景色所吸引，希望通过这篇文章表达自己对济南冬天的喜爱之情。

描绘美景：文章紧紧抓住济南冬天“温晴”这一特点，描述出一幅幅济南特有的动人冬景，展现济南的自然美和宁静。

传递感受：老舍先生善于描述主要景物的主要特征，表达自己最鲜明的印象和感受，使读者能够感受到济南冬天的独特魅力。

综上所述，《济南的冬天》不仅是一篇描绘济南冬天美景的散文，更是老舍先生表达自己对山东深厚感情和怀念之作。