二次函数的三种基本表达式及其转换关系如下：

一般式

表达式：$y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0$。

特点：这是二次函数最常用的表达式形式，适用于所有二次函数。

顶点式

表达式：$y = a（x - h）^2 + k$，其中 $a, h, k$ 为常数，且 $a \neq 0$。

特点：此形式直接给出了抛物线的顶点坐标 $（h, k）$，便于分析函数的极值点和对称轴。

交点式

表达式：$y = a（x - x_1）（x - x_2）$，其中 $a, x_1, x_2$ 为常数，且 $a \neq 0$。

特点：适用于已知抛物线与 $x$ 轴交点的情况，可以快速确定交点并求解函数表达式。

转换关系：

从一般式到顶点式：

顶点坐标 $（h, k）$ 可由 $h = -\frac{b}{2a}$ 和 $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$ 得出。

从一般式到交点式：

通过求解 $ax^2 + bx + c = 0$ 得到 $x_1$ 和 $x_2$，然后代入交点式。

从顶点式到一般式：

展开顶点式 $y = a（x - h）^2 + k$ 得到 $y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$，比较系数可得 $b = -2ah$ 和 $c = ah^2 + k$。

从交点式到一般式：

展开交点式 $y = a（x - x_1）（x - x_2）$ 得到 $y = ax^2 - a（x_1 + x_2）x + ax_1x_2$，比较系数可得 $b = -a（x_1 + x_2）$ 和 $c = ax_1x_2$。

这些表达式之间的转换在解决二次函数问题时非常有用，可以根据具体问题的需求选择合适的表达式形式。