罗素悖论是20世纪初数理逻辑领域的重要难题，由伯特兰·罗素提出，指在集合论中存在自相矛盾的集合定义。其核心问题在于：若定义一个集合$S = \{ x \mid x \notin x \}$，则$S$是否属于自身？若$S \in S$，则与定义矛盾；若$S \notin S$，则根据定义$S$又应属于自身。

解决方案的主要方法

类型理论（Type Theory）

罗素本人提出的解决方案，通过构建类型层次结构避免自引用。该理论将对象分为不同类型，禁止高阶类型（如集合）包含低阶类型（如元素）自身，从而消除悖论。例如，集合类型只能包含元素类型，不能包含集合类型。

策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF系统）

由恩斯特·策梅洛引入子集合分离公理（Separation Axiom），限制集合的构造方式。该公理规定：对于任意集合$S$和任意条件$P（x）$，由$P（x）$形成的集合$B = \{ x \mid x \in S \land P（x） \}$必然是$S$的子集。通过此公理，可以证明不存在满足$S = \{ x \mid x \notin x \}$的集合，从而避免悖论。

正则公理（Regular Axiom）

作为ZF系统的基础，正则公理断言：对于任意非空集合$S$，存在元素$x$满足$S \cap x = \emptyset$。结合其他公理，可以推导出不存在自相矛盾的集合，例如证明$\neg \exists S （S \in S \land \Omega（S））$。

其他相关方法

限制集合论应用范围：

通过禁止自引用或矛盾对象构造，但会牺牲数学表达的完整性。

非标准模型与模态逻辑：前者通过扩展公理系统，后者通过处理可能性避免自引用，但均存在引入新矛盾的风险。

总结

罗素悖论的解决标志着数学基础研究的重大进展。类型理论和ZF系统通过严格公理化手段，既保留了集合论的强大表达能力，又避免了自相矛盾。这些方法至今仍是数学逻辑和数学分析的基石。