在韩剧《屋塔房》中，王世子认出妹妹芙蓉的情节发生在 第19集。以下是相关细节的梳理：

场景设定

王世子因嫔宫落湖溺死而悲痛，此时他回忆起童年时与妹妹芙蓉的往事。原来，当年因家族需要，芙蓉被毁容后成为嫔妃，而她本人则未被选中。

关键对话

在医院中，世子向世娜提及此事，随后剧情转向朴荷。当世子发现朴荷与记忆中的芙蓉高度相似（如洗衣服时被床单遮住面部的细节）时，他震惊地认出她正是自己失散多年的妹妹。

后续发展

该情节为后续剧情埋下伏笔，包括世子对妹妹的寻找、两人重逢后的情感纠葛等。

综上，王世子认出妹妹芙蓉的关键情节集中在第19集，该集通过回忆与现实交织的手法，推动了故事情感线的发展。